لایب سان

The subject of fractional calculus and its applications (that is, convolution-type pseudo-differential operators including integrals and derivatives of any arbitrary real or complex order) has gained considerable popularity and importance during the past three decades or so, mainly due to its applications in diverse fields of science and engineering. These operators have been used to model problems with anomalous dynamics, however, they also are an effective tool as filters and controllers, and they can be applied to write complicated functions in terms of fractional integrals or derivatives of elementary functions, and so on.This book will give readers the possibility of finding very important mathematical tools for working with fractional models and solving fractional differential equations, such as a generalization of Stirling numbers in the framework of fractional calculus and a set of efficient numerical methods. Moreover, we will introduce some applied topics, in particular fractional variational methods which are used in physics, engineering or economics. We will also discuss the relationship between semi-Markov continuous-time random walks and the space-time fractional diffusion equation, which generalizes the usual theory relating random walks to the diffusion equation. These methods can be applied in finance, to model tick-by-tick (log)-price fluctuations, in insurance theory, to study ruin, as well as in macroeconomics as prototypical growth models.All these topics are complementary to what is dealt with in existing books on fractional calculus and its applications currently existing in the market. This book will be written with a trade-off in mind between full mathematical rigor and the needs of readers coming from different applied areas of science and engineering. In particular, the numerical methods listed in the book are presented in a readily accessible way that immediately allows the readers to implement them on a computer in a programming language of their choice.

چکیده فارسی

موضوع حساب کسری و کاربردهای آن (یعنی عملگرهای شبه دیفرانسیل نوع کانولوشن شامل انتگرال ها و مشتقات هر ترتیب واقعی یا مختلط دلخواه) محبوبیت و اهمیت قابل توجهی در طول سه دهه گذشته به دست آورده است، عمدتاً به دلیل به کاربردهای آن در زمینه های مختلف علوم و مهندسی. از این عملگرها برای مدل‌سازی مسائل دینامیک غیرعادی استفاده می‌شود، اما به‌عنوان فیلتر و کنترل‌کننده نیز ابزار مؤثری هستند و می‌توان از آنها برای نوشتن توابع پیچیده بر حسب انتگرال‌های کسری یا مشتقات توابع ابتدایی و غیره استفاده کرد. این کتاب به خوانندگان این امکان را می دهد که ابزارهای ریاضی بسیار مهمی را برای کار با مدل های کسری و حل معادلات دیفرانسیل کسری پیدا کنند، مانند تعمیم اعداد استرلینگ در چارچوب حساب کسری و مجموعه ای از روش های عددی کارآمد. علاوه بر این، ما برخی از موضوعات کاربردی، به ویژه روش های تغییر کسری را که در فیزیک، مهندسی یا اقتصاد استفاده می شود، معرفی خواهیم کرد. ما همچنین در مورد رابطه بین راه رفتن تصادفی نیمه مارکوف زمان پیوسته و معادله انتشار کسری فضا-زمان بحث خواهیم کرد، که نظریه معمول مربوط به پیاده روی تصادفی را به معادله انتشار تعمیم می دهد. این روش‌ها را می‌توان در امور مالی، مدل‌سازی تیک به تیک (log) نوسانات قیمت، در نظریه بیمه، مطالعه خرابی و همچنین در اقتصاد کلان به‌عنوان مدل‌های اولیه رشد به کار برد. همه این موضوعات مکمل آن چیزی هستند که به آن پرداخته می‌شود. در کتاب های موجود در مورد حساب کسری و کاربردهای آن که در حال حاضر در بازار موجود است. این کتاب با در نظر گرفتن یک مبادله بین دقت کامل ریاضی و نیازهای خوانندگانی که از حوزه‌های مختلف کاربردی علم و مهندسی می‌آیند نوشته خواهد شد. به‌ویژه، روش‌های عددی فهرست‌شده در کتاب به روشی به‌راحتی در دسترس ارائه شده‌اند که به خوانندگان این امکان را می‌دهد که فوراً آن‌ها را بر روی رایانه به زبان برنامه‌نویسی مورد نظر خود پیاده‌سازی کنند.